Guillaume jeulin (guillaume.jeulin[at]bluecatonline.org)
Sciences et Musique
Musique et psycho acoustique
On remarque que l’oreille a des affinités pour certains
rapports entre fréquences. Prenons l’exemple de l’octave. Si l’on entend un son
de fréquence
et un autre de fréquence double
(soit
), l’oreille trouve une similitude entre ces deux sons.
Il se trouve par ailleurs que la sensation de hauteur de note est logarithmique, comme l’intensité lumineuse ou le volume sonore d’ailleurs. C’est pourquoi l’oreille est sensible à des rapports entre fréquences et non des différences. Il est par conséquent souvent intéressant de se placer dans un référentiel logarithmique qui convient mieux aux outils arithmétiques et à notre logique linéaire.
En effet si
,
.
On peut aisément passer d’un domaine à l’autre. Les musiciens travaillent d’ailleurs en permanence dans le domaine logarithmique puisque la représentation sur portée ou sur les touches d’un piano est purement linéaire (on a l’impression que la « différence » entre deux notes successives sur un clavier est constante alors que ce sont les rapports entre fréquence qui importent).
Gamme juste – Gamme tempérée
J’ai mentionné précédemment que l’oreille humaine trouve des
similitudes ou une certaine « harmonie » en fonction de la différence
entre fréquences logarithmiques. En partant de cette constatation il est
possible de générer la gamme majeure en cherchant des solutions maximisant
cette harmonie (minimisant les différences). A ce sujet il existe une
page personnelle très bien faite que je n’essayerai pas de plagier ici.
Le problème de la gamme juste est que chaque tonalité génère des notes
différentes. Il est donc impossible de créer un piano jouant juste dans toutes
les tonalités. C’est ainsi qu’est apparue la gamme tempérée, issue de la
division d’une octave (
) en 12 demi tons égaux. C’est une approximation de la gamme juste, mais les
intervalles successifs entre les 12 notes étant égaux, il est possible de faire
des transpositions dans toutes les tonalités sans avoir à changer l’instrument!
C’est cette gamme que nous utilisons aujourd’hui, et personne n’est gêné par la
différence
avec la gamme juste qui est la plus plaisante a notre oreille.
Exemple d'approche mathématique de la gamme majeure
On se basera ici sur la gamme tempérée, supposant que tous les demis tons ont une valeur égale. En fréquence logarithmique ceci implique que la différence entre 2 notes espacées d’un demi ton est exprimée de la manière suivante :
,
soit
Pb: à partir des n demi tons, quels sont les intervalles a qui permettent de générer toutes les notes (i.e. de parcourir l’ensemble des valeurs 0 à n-1)?
Formule de génération :
-
(note de base de
génération).
-
On démontre assez facilement qu’une condition nécessaire et suffisante pour parcourir l’ensemble des valeurs de 0 a n est que n et a soient premiers entre eux.
Dans le cas qui nous intéresse, n étant égal a 12, on obtient donc les possibilités suivantes :
- 1 et 11 : génère la gamme chromatique (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), soit do, do#, ré, ré#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si.
- 5 (quarte) et 7 (quinte) : gamme majeure si l’on arrête la génération dès que l’on obtient plus de deux nombres consécutifs, ce qui nous limite aux 8 premières notes générées (0,2,4,5,7,9,11), soit do, ré, mi, fa, sol, la, si, en prenant pour note de départ le fa.
Dans le deuxième cas, la suite de notes générées par succession de quintes est la suivante (ordre inverse des quartes) :
Fa do sol ré la mi si fa# do# sol# ré# la#
Rq: On s’aperçoit que la gamme générée par fa n’est autre que la gamme de do majeur. On pourrait donc considérer que le mode lydien (do majeur = mode lydien de fa) est plus « naturel » que le mode ionien (Do majeur=mode ionien de do).
Par conséquent, en divisant l’octave en 12 demi tons égaux, la seule gamme non triviale (par opposition à la gamme chromatique) qu’il est possible de générer par succession d’intervalles est la gamme majeure que nous connaissons bien.
... En construction....